jueves, 18 de noviembre de 2010

PAOLO RUFFINI

Esta mañana hemos hablado en clase sobre Ruffini y hemos quedado que os colgaría información sobre él. El señor de la foto es Paolo Ruffini (1765-1822). Nace en Valentano, Estados Pontificios (hoy Italia), el 22 de septiembre de 1765.
1788: El 9 de junio se gradúa en Filosofía, Medicina y Cirugía. Un poco más tarde se gradúa en Matemáticas.
1791: Es nombrado profesor de Elementos de Matemáticas en la Universidad de Módena. Se le concede la licencia para practicar la medicina.
1796: Napoleón funda la República Cisalpina (Lombardía, Emilia, Modena y Bolonia) y Ruffini es propuesto para ocupar un cargo en su Consejo. Se le requiere un juramento de lealtad, pero le parece contrario a sus creencias religiosas y políticas. A causa de ello es despedido de su puesto en la Universidad y se le prohíbe la enseñanza. Ruffini se dedica a la práctica de la medicina y a sus investigaciones sobre la  resolución de la ecuación de quinto grado por radicales.

1799: Es readmitido en la Universidad de Modena y se publica su Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, obra en la que utilizó métodos similares a los usados por Lagrange en sus Réflections sur la résolution algébrique des équations.
1804: Se edita la memoria Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado. En ella Ruffini elabora un método de aproximación de las raíces de una ecuación que se anticipa en quince años al conocido como “método de Horner” (Philosophical Transactions, 1819).
1806: Acepta  una cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de Modena y dedica su Dell’ inmortalità dell’ anima a Pío VII.
1807: Se imprime Algebra elementare. (Algebra e suo apendice)
1813: Se publican sus Riflessioni intorno alla soluzione delle equazioni algebraiche generali.
1814: Es nombrado rector de la Universidad de Modena donde ocupa cátedras de medicina y matemáticas.
1822: El 9 de mayo muere en Modena, Ducado de Modena (hoy Italia), y es enterrado en la iglesia de Santa María de Pomposa.

2. La resolución de ecuaciones de grado inferior a cinco: perspectiva histórica
2.1. La ecuación cuadrática
La resolución de la ecuación de segundo grado se remonta a los comienzos de la matemática en general y a los del álgebra en particular.
2.1.1. La resolución de la ecuación de segundo grado en Babilonia
La tablilla cuneiforme BM13901 contiene abundante material relativo a la resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
2.1.2. La ecuación de segundo grado en la India
Para resolver la ecuación x2 – 10x = –9, el matemático indio Brahmagupta (ca. 628 d. C.) propuso el procedimiento completar sumandos a un cuadrado perfecto.
2.1.3. La resolución de la ecuación cuadrática en Arabia
El matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi (s. IX) utilizó la siguiente estrategiapara resolver la ecuación x2 + 10x = 39.
Debes tomar la mitad del número de las raíces, que es 5, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número, que es 8, y le restas la mitad de las raíces, 5, y obtienes 3, que es el valor buscado.
2.1.4. A modo de resumen
A la vista de los resultados obtenidos en los ejemplos anteriores se observa que las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita se pueden obtener por una fórmula en la que los coeficientes de la ecuación están ligados únicamente por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y radicación. Dicho en otras palabras: la ecuación cuadrática es resoluble por radicales.
2.2. La ecuación cúbica
2.2.1. Tercetos de tercer grado
Los acontecimientos que tuvieron lugar en torno al problema de la resolución de la ecuación de tercer grado configuran uno de los episodios más apasionantes de la historia del álgebra.
En 1539,Nicolò Fontana “Tartaglia” (ca. 1499 – 1557) comunicó a Girolamo Cardano (1501 – 1576), mediante unos tercetos, las reglas que permitían resolver tres tipos de ecuaciones de tercer grado.
Cardano, como muestra de agradecimiento, se comprometió a no revelarlas hasta que Tartaglia las hiciese públicas. No obstante, ante la tardanza de dicha publicación, Cardano las dio a conocer en su Ars Magna (1545).
Este hecho provocó que, al año siguiente, Nicolò Fontana publicase algunos comentarios despectivos sobre Girolamo que originaron una polémica nada edificante entre Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 – 1565), otro de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento.
2.3. La ecuación cuártica
Se debe a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano, la resolución por radicales de la ecuación de cuarto grado.
3. Ruffini matemático
Acabamos de ver que, desde el siglo XVI, se sabía que las ecuaciones polinómicas de grado inferior a cinco eran resolubles por radicales.
¿Podía afirmarselo mismo de las ecuaciones de grado superior?
Esta cuestión mantuvo ocupado a Paolo Ruffini durante buena parte de su vida.
En su Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, publicada en 1799, presentó una demostración sobre la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de grado superior al cuarto. Dicha demostración fue revisada en las versiones de 1803, 1808 y 1813.En la introducción de su memoria puede leerse:
La resolución algebraica de las ecuaciones generales de grado mayor que el cuarto es siempre imposible. (...) presentar la prueba de ello es la razón principal para publicar este volumen. El inmortal Lagrange, con sus reflexiones sublimes, ha proporcionado las bases de mi demostración.
La demostración de Ruffini no fue concluyente, dado que se apoyaba en una hipótesis incompleta, ni fue bien recibida por la mayoría de sus contemporáneos (algunos de ellos ni la entendieron) y sucesores.
Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) no contestó a las cartas de Ruffini en las que le solicitaba su opinión acerca de su memoria.
Por su parte, Niels Henrik Abel (1802–1829) al que se debe la demostración definitiva de la irresolubilidad, refiriéndose a la prueba de Ruffini se despachaba así:
El primero, si no me equivoco, el único antes de mi que ha intentado demostrar la imposibilidad de la resolución algebraica de las ecuaciones generales, es el geómetra Ruffini; pero su memoria es tan complicada que es difícil juzgar la veracidad de su razonamiento. Me parece que su razonamiento nosiempre es satisfactorio.
El único matemático de prestigio que apoyó a Ruffini fue Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) que, en una carta remitida en 1821, le decía:
(...) a mi juicio, su memoria prueba completamente la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de grado superior al cuarto.
Lo que resulta sorprendente y extraño es que nadie descubriese el error cometido y se lo comunicase al interesado.



Resolver algebraicamente una ecuación es expresar sus raíces como funciones racionales de los coeficientes de la ecuación y de las raíces de otras ecuaciones auxiliares bien conocidas.
Cuando todas estas ecuaciones auxiliares son binomias, la resolución algebraica se puede hacer por radicales.

J. Rey Pastor. Lecciones de Álgebra, p.169
Ruffini reclamó haber demostrado que la ecuación general de quinto grado es irresoluble por radicales; sin embargo, su prueba no fue concluyente dado que se basaba en la hipótesis de que estos radicales se pueden expresar como funciones racionales de las raíces. Fue Abel quien completó la demostración de Ruffini mostrando que los radicales necesarios para resolver una ecuación siempre se pueden elegir como funciones racionales de las raíces de la ecuación y de ciertas raíces de la unidad.
Referencias bibliográficas:

Fuentes

Ø      PÉREZ DE MOYA, J. (1562). Aritmética Práctica y Especulativa. Salamanca, M. Gast.
Ø      DIVULGAMAT
          Espero que seáis capaces de entender y comprender lo que hacen muchos matemáticos  por pura diversión, pero también para aplicarlo a la resolución de los problemas que se les plantean.


martes, 16 de noviembre de 2010

Para los amantes de los Grafittis

En este vídeo que podeis ver a continuación, está lo que hicieron el curso pasado alumnos del IES Ramiro de Maeztu y me ha parecido fantástico para que veais que los grafittis también pueden ser de Matemáticas o de Ciencia. Además si pinchais en el enlace del lateral, os lleva a una página Grafittis y Mates, muy interesante.

Un triángulo muy especial


En breve veremos en clase este triángulo tan chulo que se llama Triángulo de Tartaglia o de Pascal, en honor a los matemáticos que lo definieron (si pincháis en sus nombres conoceréis algo más sobre ellos). Hasta que lleguemos, podéis ir mirando un poco por la página que sale al pinchar en el gráfico de al lado.

lunes, 15 de noviembre de 2010

Un poquito más de información sobre el nº e

Estos días estamos en clase hablando de los logaritmos y nos han aparecido unos logaritmos que tienen por base el nº e que ya estudiamos en los nº irracionales, a los cuales hemos llamado logaritmos neperianos, en honor a Neper. Bien pues en este vídeo nos cuentan un poco más sobre este famoso nº en todos los campos de la Ciencia.



Mas por menos: Un Numero Llamado E
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